Er wurde in Westminster, London, geboren. Während seines Studiums spielte er in Off-Broadway-Stücken mit. Anfang der achtziger Jahre zog er in die Vereinigten Staaten und gab sein Schauspieldebüt in dem Film “Another Country”. Danach wurde Carey durch seine Rollen in “Die Braut des Prinzen”, “Bram Stoker’s Dracula”, “Saw” und “Saw 3D: The Final Chapter” bekannt. Außerdem spielte er in Filmen wie Days of Thunder, Twister, Hot Shots, Liar, Liar, Robin Hood: Men in Tights und New Year’s Eve mit. Carey hat auch in Fernsehserien wie Akte X und Psych mitgewirkt.
Carey war auch Sprecher für die Hörbücher “The Jester”. Als Synchronsprecher gab er seine Stimme unter anderem für Filme wie Pinky and the Brain, Quest for Camelot, Batman Beyond und The Cat Returns. Für das Videospiel “The Bard’s Tale” arbeitete er als Improvisator, Drehbuchautor und Synchronsprecher für die Hauptfigur. Im Jahr 2011 übernahm er die englische Synchronisation für den indischen Film “Delhi Safari”.
Elwes lernte 1991 Lisa Kurbikoff kennen. Sie verlobten sich 1997. Das Paar heiratete im Jahr 2000. Sie bekamen eine Tochter Dominique, die am 24. April 2007 geboren wurde. Im August 2005 reichte er eine Klage gegen die Macher von Saw ein, da sie ihm ein Prozent des Reingewinns des Films versprochen hatten, er aber nie seinen vollen Betrag erhielt. Der Fall wurde außergerichtlich beigelegt.
